상관분석 Correlation Analysis

상관분석 Correlation Analysis

• 두 변수 간에 어떤 선형적 관계를 갖는지 분석하는 방법

• 두 변수는 서로 관계가 없거나 상관된 관계를 가질 수 있다.

• 상관관계(correlation) 또는 상관계수(correlation coefficient): 두 변수 간의 관계의 강도

• 단위는 모상관계수 \(\rho\)를 사용하며 \(-1\)애서 \(+1\)까지의 범위를 가짐
  

• 두 변수 간의 연관된 정도를 나타낼 뿐 인과관계를 설명하지는 않는다

• 두 변수 간에 원인과 결과의 인과관계가 있는지를 확인하기 위해서는 회귀분석(regression analysis)을 통해 인과관계의 방향이나 정도, 그리고 수학적 모델을 확인할 수 있다

피어슨 상관계수 Pearson correlation coefficient

• 두 변수 간의 관련성을 구하기 위해 보편적으로 사용하여 공분산을 이용해 계산

• \(X=\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}\)의 평균이 \(\bar{x}\)일 때 \(X\)의 분산(variance)
  

\begin{eqnarray} S_X^2 = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2}{n}\end{eqnarray}

• \(X=\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}\)의 평균이 \(\bar{x}\)일 때 \(X\)의 표준편차(standard deviation)
  

\begin{eqnarray} s_X = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2}{n}}\end{eqnarray}

• \(X=\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}\)의 평균이 \(\bar{x}\)이고, \(Y=\{y_1, y_2, \ldots, y_n\}\)의 평균이 \(\bar{y}\)일 때 \((X,Y)\)의 공분산(covariance)
  

\begin{eqnarray} \textrm{cov}(X,Y) = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{n}\end{eqnarray}

• \(X=\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}\)의 평균이 \(\bar{x}\)이고, \(Y=\{y_1, y_2, \ldots, y_n\}\)의 평균이 \(\bar{y}\)일 때 \((X,Y)\)의 상관계수(correlation coefficient)
  

\begin{eqnarray} \rho_{XY} &=& \frac{\textrm{cov}(X,Y)}{s_Xs_Y}\\ &=& \frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2 \sum_{i=1}^n(y_i-\bar{y})^2}}\end{eqnarray}

상관분석 결과를 해석할 때 주의할 점

• 두 변수 중 한 변수가 증가(감소)할 때 다른 변수가 증가(감소)하더라도 이 두 변수 간에 영향관계가 없다고 할 수 없는 이유

• The third-variable problem

• 측정되거나 측정되지 않은 다른 변수들이 결과에 영향을 줄 수 있다

• Direction of Casuality

• 상관계수는 인과관계의 방향을 나타내지 않음

• 서울 시내의 자동차 수와 교통사고 발생 수의 상관관계

• 교통사고의 직접적인 원인이 자동차 수의 증가라고 판단할 수 없음

• 도로사정, 초보 운전자의 증가 등 다른 요인이 있을 수 있음
  

• 아버지와 아들 체중의 상관관계
  

• 체중의 유전론이 확증되지 않았음

• 식습관이 원인일 수 있음