기술 통계량(Descriptive Statistics)

건물이나 시설 등의 정보를 설명하기 위해서는 '위치'와 '크기'를 전달하면 되듯이 데이터를 설명하기 위해서는 위치를 나타내는 대표값(representative value)과 크기(면적)에 해당하는 '산포(dispersion)'를 나타내는 대표값이 있다.

위치 모수(location parameter)

데이터 집합의 크기를 나타내는 대표값

• 평균(mean 또는 average):

  • 산술평균(arithmetic mean)
    \begin{eqnarray}
    \bar{x} &=& \frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\\ &=& \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i
    \end{eqnarray}

  • 가중평균(weighted mean 또는 weighted average)
    $$
    \begin{aligned}
    \bar{x} &= \frac{\sum_{i=1}^{n}w_ix_i}{\sum_{_i=1}^{n}w_i}
    \end{aligned}
    $$

• 중앙값(median)

  • \(n\)이 홀수인 경우: \(\frac{n+1}{2}\)번째 값
    $$
    m_e=x_{\frac{n+1}{2}}
    $$
  • \(n\)이 짝수인 경우: \(\frac{n}{2}\)째 값과 \(\frac{n+1}{2}\)번째 값의 평균
    $$
    m_e=\frac{x_\frac{n}{2} + x_\frac{n+1}{2}}{2}
    $$

• 최빈값(mode): 도수(frequency)가 가장 높은 값

• 최소값

• 최대값

 

척도 모수(scale parameter)

데이터 집합의 산포를 나타내는 대표값

• 분산(variation)

  • 모분산(population variance): 모집단의 분산
    $$
    \sigma^2=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2
    $$
  • 표본분산(sample variance): 표본의 분산
    $$
    s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2
    $$

• 표준편차(SD, standard deviation)

  • 모표준편차(population standard deviation): 모집단의 표준편차
    $$
    \sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2}{N}}
    $$
  • 표본표준편차(sample standard deviation): 표본의 표준편차
    $$
    s=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}}
    $$

• 변동 계수(CV, coefficient of variation): 분포의 산포 정도를 비교하기 위한 표준화(standardization)
  $$
  \nu=\frac{s}{\bar{x}}\times100(%)
  $$

• 범위(range)
  $$
  x_{\text{max}}-x_{\text{min}}
  $$

• 사분위 범위(IR, interquartile range)

기타 척도

• 표준오차(standard error): 데이터에서 산출(추정)된 각종 통계량의 오차
• 왜도 또는 비대칭도(skewness): 데이터 분포의 비뚤어진 정도를 나타내는 통계량으로 분포의 대칭성을 나타낸다
  $$
  \begin{aligned}
  g_1 &= \frac{\frac{1}{n}{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^3}}{\Big(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2\Big)^{3/2}} \&=\frac{n}{(n-1)(n-2)}\sum_{i=1}^n\bigg(\frac{x_i-\bar{x}}{s}\bigg)^3
  \end{aligned}
  $$
• 첨도(kurtosis): 데이터 분포의 뾰족한 정도를 나타내는 통계량으로 데이터 분포에서 봉우리가 얼마나 뾰족하게 솟아있는지를 가리킨다
  $$
  g_2 = \frac{\frac{1}{n}{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^4}}{\Big(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2\Big)^{2}} -3
  $$